Dr. Mithat Tosun

13.03.2019 / 10:16

Dr. Mithat Tosun

Süper Beyin yarışması ve sihirli kareler-2

Tüm satranç tahtasını tüm karelere sadece bir kere basarak atla dolaşabilir misiniz? Ya da 8 veziri birbirini göremeyecek (alamayacak) şeklide satranç tahtasına yerleştirebilir misiniz?
Satranç oyuncuları atın değerini bilirler. Hiçbir taş onun gibi hareket edemez. At, satranç oyununda hareketi sırasında diğer taşların üzerinden atlayabilen tek taştır. Her yöne yalnızca 'L' biçiminde hareket eder. İki kare dikey ve bir kare yatay, ya da iki kare yatay ve bir kere dik gibi.

Tüm satranç tahtasını tüm karelere sadece bir kere basarak atla dolaşabilir misiniz?
Ya da 8 veziri birbirini göremeyecek (alamayacak) şeklide satranç tahtasına yerleştirebilir misiniz? Gibi güzel ve ilginç sorular vardır.
 
 
 92 farklı çözümü olan bir problemdir.
Matematikçiler her kareye sadece bir kez basarak tüm tahtayı atla dolaşmanın milyarlarca farklı yolu olabileceğini hesaplamışlar sözgelimi. En güzel çözüm, atın başladığı karenin bir kare yakınında görevini bitirmesidir. Yani sonsuz kadar bu şekilde sıçrayabileceğini gösteren bir çözümdür bu, at sıçraması problemi için.

  
18. yy'da büyük matematikçi Leonard Euler de, sihirli kareler üzerinde at sıçramasıyla uğraşmış. Matematikçiler o zamanlar da her alana sadece bir kez basarak atın tüm 64 kareyi dolaşabileceği bir rut aramışlar. Sayıları da sırayla 1 den 64'e kadar dağıtalım ve ortaya bir sihirli kare çıksın demişler. Yani sihirli kareler için at sıçramasıyla çizilecek bir ‘Sihirli Rut ’  var mıydı?
 
Aslında bu  Çizge Kuramında rut üzerinde her düğümün sadece bir kez kullanıldığı bir Hamilton çemberi problemidir ve daha basit olan Euler çember probleminden farklıdır diyebiliriz.

En son 2003 yılında süper bilgisayarlarla yapılan bir araştırmada 1'den 64'e kadar olan sayıları at sıçrayışıyla karelere dağıtarak köşegenlerin de toplamı 260 olan bir sihirli karenin mümkün olmadığı saptanmış.
 
Wersig de 64 kareyi işte aynı at sıçraması rutundaki gibi mantıkla dolaşmış tek tek sayıları yerleştirirken. Bu yöntemle tüm ardışık rakamları kullanarak mükemmel bir sihirli kare elde edilemeyeceği açıktır. Sonuçta ortaya bir sihirli kare çıkmış. Yatay, dikey ve köşegenlerin toplamı 747 çıkmış. Sıkı durun. 747 rakamını yarışmanın başında seyirci vermiş.

Wersig böyle bir şemayı kullanmış olmalı sayıları yerleştireceği kareleri seçerken. Ve 1'den 64'e kadar sayıların yerleştirildiği bir sihirli kare hazır şablonu kullanmış olmalı. Böyle bir sihirli karenin sihirli sabiti  260'tır.

Bu 64 sayı iki aşamada değişmiş olmalı. Öyle ki, satır ve sütun toplamları 747 çıksın.
Örneğin üçe üçlük bir sihirli kareye bakalım.Birden dokuza kadar sayıları yerleştirelim. Sihirli sabiti 15 olan bir sihirli kare elde ederiz.
 
9 5 1
4 3 8
2 7 6


Şimdi de sözgelimi her sayıya kolaylık olsun diye on ekleyelim.
 
19 15 11
14 13 18
12 17 16
 
Görüldüğü üzere her satır ve sütunun toplamı 30 (3 x 10 = 30) artarak, 15 olan sihirli sabit 45'e yükselmiş oldu. Eğer 11 eklemiş olsaydık bu sihirli sabit 48 olurdu. Ya da 9 ekleseydik 42 olurdu. Yani her bir sayı arttırmakla sihirli sabiti 3 arttırmış oluruz.

Buraya kadar kolay sayılır. Peki ya sihirli sabitin 45 değil de, sözgelimi 47 olmasını isteseydik?

Kolay. En büyük üç sayıya 2 eklersiniz.
 
22 15 11
14 13 21
12 20 16
Çünkü bunlar bir üçlü oluştururlar ve her satır ve sütuna dağılırlar. (Aynı işi en küçük üç sayıya ya da başka bir üçlüye de uygulayabilirsiniz? Bir araştırın bakalım).  Böylece her satır ve sütun da 2 değerinde artmış olur. Bu üç kareye 3 veziri birbirini görmeyecek şekilde yerleştirme problemindeki 3 vezir gibi bir üçlü gruptur.

Peki, 64'lük bir sihirli karenin sihirli sabiti 260. Ama 747'yi nasıl elde ederiz?

260 + 8 X 60 = 740

Birinci adımda tüm sayılara 60 ekleriz.
İkinci adımda en büyük 8 sayıya 7 ekleyerek her satır ve sütunu yükselterek 747 elde ederiz. Gerisi de ar sıçrama şablonuna göre sayıları yerine yerleştirmek. Bu yöntemle bazı sayılar ardışık olarak tam olmayacak, en büyük ve en küçük iki sayı arasında bazıları eksik kalacak ve mükemmel bir sihirli kare olmayacak ama yatay ve dikey sütunlarda 747 sayısı ortaya çıkacaktır elbette.

Elbette ki, biraz kafa hesabı ve bellek gerekiyor. Ama görüldüğü gibi kafa hesabı gösterisinden çok, bellek çalışması gerektiren bir işlem var gibi duruyor böyle bakınca.
 
Kesinlikle sıkı bir ön çalışma yapmış olmak lazım. Ama gösteri (show) dünyasında da seyirciyi etkilemesini iyi bileceksiniz. Çok çalışıp zor işler başarmaktansa daha etkileyici ama kolay numaralar bulmak, günümüz hızlı tüketen gösteri (show) dünyası için önemli bir gereklilik olsa gerek.


16
5
9
4
2
11
7
14
3
10
6
15
13
8
12
1
Yang-Hui-Quadrat
 
 
YORUMLAR

Yazarın Diğer Yazıları

>> Milgram Deneyi – 4 - 17.07.2019
>> Milgram Deneyi - 3 - 25.06.2019
>> Milgram Deneyi – 2 - 21.05.2019
>> Milgram Deneyi – 1 - 30.04.2019
>> Cheops’a Fermi Yaklaşımı - 04.04.2019
80alte Yazarları
Dr. Mithat Tosun Halef Remzi Vayıs Aydın Bakışoğlu Şenol Gürel
Milgram Deneyi – 4
Tüm Yazarlar